Question

13．設F₁、F₂分別是橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦點，M是C上一點且MF₂與x軸垂直，直線MF₁與橢圓C的另一個交點為N．若直線MN的斜率為$\frac{3}{4}$，則C的離心率等于$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 如圖所示，把x=c代入橢圓方程可得M$（c，\frac{^{2}}{a}）$．利用${k}_{M{F}_{1}}$=$\frac{\frac{^{2}}{a}}{2c}$=$\frac{3}{4}$，化簡整理即可得出．

解答 解：如圖所示，
把x=c代入橢圓方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，解得y=$±\frac{^{2}}{a}$，
可得M$（c，\frac{^{2}}{a}）$．
∴${k}_{M{F}_{1}}$=$\frac{\frac{^{2}}{a}}{2c}$=$\frac{3}{4}$，
化為3ac=2b²=2（a²-c²），
化為2e²+3e-2=0，
又0＜e＜1，
解得e=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．