Question

（本小題滿(mǎn)分16分）已知橢圓的離心率為，過(guò)右頂點(diǎn)A的直線(xiàn)l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且.

（1）求橢圓C和直線(xiàn)l的方程；

（2）記曲線(xiàn)C在直線(xiàn)l下方的部分與線(xiàn)段AB所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為D．若曲線(xiàn)與D有公共點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)m的最小值．

Answer 1

（1）橢圓方程為.直線(xiàn)l的方程為. （2）.   

解析:

（1）由離心率，得，即.    ① ………………2分

又點(diǎn)在橢圓上，即.     ② ………………4分

解 ①②得，

故所求       …………………6分

由得直線(xiàn)l的方程為. ………8分

（2）曲線(xiàn)，即圓，其圓心坐標(biāo)為，半徑，表示圓心在直線(xiàn)上，半徑為的動(dòng)圓.     ………………… 10分

由于要求實(shí)數(shù)m的最小值，由圖可知，只須考慮的情形.

設(shè)與直線(xiàn)l相切于點(diǎn)T，則由，得，…………… 12分

當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)與直線(xiàn)l垂直的直線(xiàn)的方程為，解方程組

得.……………… 14分

因?yàn)閰^(qū)域D內(nèi)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最小值與最大值分別為， 所以切點(diǎn)，由圖可知當(dāng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，m取得最小值，即，解得.  ………………… 16分