Question

7．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2ⁿa_n+4，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 把遞推式兩邊同時(shí)除以${2}^{\frac{n（n+1）}{2}}$，然后利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式．

解答 解：由a_n+1=2ⁿa_n+4，得，$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{\frac{n（n+1）}{2}}}=\frac{{a}_{n}}{{2}^{\frac{（n-1）n}{2}}}+\frac{4}{{2}^{\frac{n（n+1）}{2}}}$，
對(duì)數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{\frac{（n-1）n}{2}}}$}運(yùn)用累加公式得：
$\frac{{a}_{n}}{{2}^{\frac{（n-1）n}{2}}}=\frac{{a}_{1}}{{2}^{0}}+4[\frac{1}{{2}^{1}}+\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{2}^{6}}+…+\frac{1}{{2}^{\frac{n（n-1）}{2}}}]$，其中a₁=1，
兩邊乘以${2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$得，${a}_{n}={2}^{\frac{n（n-1）}{2}}[1+4（\frac{1}{{2}^{1}}+\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{2}^{6}}+…+\frac{1}{{2}^{\frac{n（n-1）}{2}}}）]$，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為${a}_{n}={2}^{\frac{n（n-1）}{2}}[1+4（\frac{1}{{2}^{1}}+\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{2}^{6}}+…+\frac{1}{{2}^{\frac{n（n-1）}{2}}}）]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，想到兩邊同時(shí)除以${2}^{\frac{n（n+1）}{2}}$是解答該題的關(guān)鍵，屬難題．