Question

設數列{a_n}滿足：a₁=5，a_n+1+4a_n=5，（n∈N^*）
（I）是否存在實數t，使{a_n+t}是等比數列？
（Ⅱ）設數列b_n=|a_n|，求{b_n}的前2014項和S₂₀₁₄．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由已知得a_n+1=-4a_n+5，令a_n+1+t=-4（a_n+t），得t=-1，從而求出存在這樣的實數t=-1，使{a_n+t}是等比數列．
（Ⅱ）由a_n-1=4•（-4）^n-1．得b_n=|a_n|=

1+4n，n為奇數 4n-1，n為偶數

，由此能求出{b_n}的前2014項和S₂₀₁₄．

解答： 解：（Ⅰ）由a_n+1+4a_n=5，得a_n+1=-4a_n+5，
令a_n+1+t=-4（a_n+t），…（2分）
得a_n+1=-4a_n-5t，則-5t=5，解得t=-1，…（4分）
從而a_n+1-1=-4（a_n-1）．
又a₁-1=4，∴{a_n-1}是首項為4，公比為-4的等比數列，
∴存在這樣的實數t=-1，使{a_n+t}是等比數列．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n-1=4•（-4）^n-1．
∴b_n=|a_n|=

1+4n，n為奇數 4n-1，n為偶數

，（8分）
∴S₂₀₁₅=（1+4）+（4²-1）+（1+4³）+…+（4²⁰¹⁴-1）
=4+4²+4³+…+4²⁰¹⁴
=

4(1-42014)

1-4

=

42015-4

3

．…（12分）

點評：本題考查是否存在使得數列為等比數列的實數的判斷與求法，考查數列的前2014項和的求法，是中檔題，解題時要注意等比數列的性質的合理運用．