Question

【題目】數(shù)列的前項和為，若存在正整數(shù)，且，使得，同時成立，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.

（1）若首項為，公差為的等差數(shù)列是“數(shù)列”，求的值；

（2）已知數(shù)列為等比數(shù)列，公比為.

①若數(shù)列為“數(shù)列”，，求的值；

②若數(shù)列為“數(shù)列”，，求證：為奇數(shù)，為偶數(shù).

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意，以及“數(shù)列”的概念，得到，求解，即可得出結(jié)果；

（2）①根據(jù)數(shù)列為“數(shù)列”，得到，再由，即可得出結(jié)果；

②根據(jù)數(shù)列為“數(shù)列”，得到，令，分別討論：為偶數(shù)；為偶數(shù)，為奇數(shù)；為奇數(shù)三種情況，結(jié)合導數(shù)的方法進行處理，即可得出結(jié)果.

解：（1）若首項為，公差為的等差數(shù)列是“數(shù)列”，

由題意可得，，解得：；

（2）①若數(shù)列為“數(shù)列”，則，

又，

所以或；

②若數(shù)列為“數(shù)列”，則，

令，

若為偶數(shù)，則，不符合題意；

若為偶數(shù)，為奇數(shù)，不符題意；

若為奇數(shù)，，

則，

令，，則，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

∴

即單調(diào)增，與題意不符；

綜上為奇數(shù)，為偶數(shù).