Question

在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若點(diǎn)P是棱上一點(diǎn)，則滿足PA+PC₁=2a的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、3個(gè)
• B、4個(gè)
• C、5 個(gè)
• D、6個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)P到A和C₁的距離之和等于定值2a的點(diǎn)的全體構(gòu)成一個(gè)橢球面，由此能求出結(jié)果．

解答： 解：在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
點(diǎn)P到A和C₁的距離之和等于定值2a的點(diǎn)的全體構(gòu)成一個(gè)橢球面，
該橢球面的焦點(diǎn)即為A和C₁，
橢球的長半軸為

2a

2

=a，
焦距為正方體的對角線的一半，即

3 a

2

，
所以短半軸為

a2-( 3 a 2 )2

=

1

2

a，
所以該橢球面和正方體的棱有6個(gè)交點(diǎn)：A點(diǎn)的三條棱和C₁點(diǎn)的三條棱，
所以P的個(gè)數(shù)為6．
故選：D．

點(diǎn)評：本題考查滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．