Question

（05年天津卷）（14分）

拋物線C的方程為，過(guò)拋物線C上一點(diǎn)  ()作斜率為的兩條直線分別交拋物線C于，兩點(diǎn)（P、A、B三點(diǎn)互不相同），且滿足（≠0且）。

（Ⅰ）求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程

（Ⅱ）設(shè)直線AB上一點(diǎn)M，滿足，證明線段PM的中點(diǎn)在y軸上

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1），求∠PAB為鈍角時(shí)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的取值范圍。

 

Answer 1

解析：（I）由拋物線的方程得，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（），準(zhǔn)線方程為

（II）證明：設(shè)直線PA的方程為，直線PB的方程為

點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組的解

將代入得：

由韋達(dá)定理： ①

同理：，又因?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090418/20090418090307014.gif' width=73>，所以  ②

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，得  ③

將 ② 代入 ③ 得：

即：。所以，線段的中點(diǎn)在軸上

（III）因?yàn)辄c(diǎn)P（1，1）在拋物線上，所以，拋物線的方程為。

由 ① 得：，代入得

將代入 ② ，得，代入得

因此，直線PA、PB分別與拋物線C的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為

于是：，

因?yàn)?IMG height=16 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090418/20090418090307036.gif' width=43>為鈍角且P、A、B三點(diǎn)互不相同，故必有，即

解得的范圍為：或

又點(diǎn)A的縱坐標(biāo)滿足，故

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

所以，為鈍角時(shí)，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的取值范圍是