Question

已知函數(shù)，.

（Ⅰ）已知，若，求的值；

（Ⅱ）設(shè)，當(dāng)時(shí)，求在上的最小值；

（Ⅲ）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.

 

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，最小值為；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，在上的最大值為0；當(dāng)時(shí)，在上的最大值為；當(dāng)時(shí)，在上的最大值為.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）將函數(shù)去掉絕對(duì)值寫成分段函數(shù)形式，結(jié)合函數(shù)圖像滿足的只可能為，從而，，由即可得；（Ⅱ）寫出的表達(dá)式，根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，先求出每一段上的最小值，其中最小的即為 的最小值；（Ⅲ）將寫成分段函數(shù)的形式，每一段均為二次函數(shù)的形式，結(jié)合二次函數(shù)圖像，分類討論函數(shù)的對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，從而求出最大值.

試題解析：（Ⅰ）

由圖像可知，

即為，所以 3分

（Ⅱ），則，

當(dāng)時(shí)，，即為，解得

當(dāng)時(shí)，，即為，解得

當(dāng)時(shí)，最小值為

（本問(wèn)也可直接利用圖像說(shuō)明理由求解） 6分

（Ⅲ）

①記，結(jié)合圖像可知，

當(dāng)，即時(shí)，

當(dāng)，即時(shí)， 8分

②記，結(jié)合圖像可知，

當(dāng)，即時(shí)，

當(dāng)，即時(shí)，

當(dāng)，即時(shí)，

③記，結(jié)合圖像可知，

當(dāng)，即時(shí)，

當(dāng)，即時(shí)， 10分

由上討論可知：

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)， 15分

綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上的最大值為0

當(dāng)時(shí)，在上的最大值為

當(dāng)時(shí)，在上的最大值為. 16分

考點(diǎn)：分段函數(shù)的解析式求法，數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想.