Question

在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）．以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

（Ⅰ）求曲線的平面直角坐標方程；

（Ⅱ）設直線與曲線交于點，若點的坐標為，求的值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）直接根據(jù)極坐標方程與直角坐標的轉(zhuǎn)換關系式結合三角函數(shù)中的兩角和與差的三角函數(shù)公式即可實現(xiàn)將曲線的參數(shù)方程化為直角坐標方程；（Ⅱ）先將直線的參數(shù)方程與曲線的直角坐標方程聯(lián)立轉(zhuǎn)化為含的一元二次方程，然后根據(jù)參數(shù)方程中的相關理論直接求的值.

試題解析：（Ⅰ）由，得，

當時，得，

對應直角坐標方程為：.

當，有實數(shù)解，說明曲線過極點，而方程所表示的曲線也過原點.

∴曲線的直角坐標方程為．　       3分

（Ⅱ）把直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標方程，得，

即，由于，故可設是上述方程的兩實根，

則.       5分

∵直線過點，

∴由的幾何意義，可得．     7分

考點：極坐標與參數(shù)方程、韋達定理