Question

20．已知函數(shù)f（x）=x²-x+1，g（x）=2x⁴-18x²+12x+68．
（1）如果不等式f（x）≥ax²+a對(duì)任意的x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）是否存在正實(shí)數(shù)M，使得不等式f（x）+$\sqrt{g（x）}$≥M對(duì)任意的x∈R恒成立，求出M的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)恒成立，利用參數(shù)分離法進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)函數(shù)表達(dá)式，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離和點(diǎn)到點(diǎn)的距離進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）若f（x）≥ax²+a對(duì)任意的x∈R恒成立，
即x²-x+1≥ax²+a對(duì)任意的x∈R恒成立，
即（1-a）x²-x+1-a≥0恒成立，
若a=1，則不等式等價(jià)為-x≥0，則x≤0，不滿足條件．
若a≠1，則等價(jià)為$\left\{\begin{array}{l}{1-a＞0}\\{△=1-4（1-a）^{2}≤0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＜1}\\{（a-1）^{2}≥\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，即a-1≤-$\frac{1}{2}$，即a≤1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$．
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{2}$]．
（2）令y=f（x）+$\sqrt{g（x）}$，則$\frac{y}{\sqrt{2}}$=$\frac{{x}^{2}-x+1}{\sqrt{2}}$+$\sqrt{（{x}^{2}-5）^{2}+（x+3）^{2}}$
$\frac{{x}^{2}-x+1}{\sqrt{2}}$表示拋物線x=y²上的動(dòng)點(diǎn)（x²，x）到直線l：x-y+1=0的距離，$\sqrt{（{x}^{2}-5）^{2}+（x+3）^{2}}$表示拋物線x=y²上的動(dòng)點(diǎn)（x²，x）到點(diǎn)M（5，-3）的距離，
則=$\frac{{x}^{2}-x+1}{\sqrt{2}}$+$\sqrt{（{x}^{2}-5）^{2}+（x+3）^{2}}$表示拋物線x=y²上的動(dòng)點(diǎn)（x²，x）到直線l：x-y+1=0的距離與到點(diǎn)M（5，-3）的距離之和，
則最小值為M到y(tǒng)-x+1=0的距離d=$\frac{|-3-5+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{7}{\sqrt{2}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
即$\frac{y}{\sqrt{2}}$≥$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，即y≥$\frac{7\sqrt{2}}{2}$×$\sqrt{2}$=7，
即M≤7，即M的最大值為7．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題，根據(jù)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．