Question

19．定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x+2）=4f（x）．x∈[0，2）時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x}&{x∈[0，1）}\\{lo{g}_{\sqrt{2}}（x+1）}&{x∈[1，2）}\end{array}\right.$，若x∈[-2，0）對(duì)任意的t∈[1，2）都有 f（x）≥$\frac{t}{16}-\frac{a}{8{t}^{2}}$成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，2]
• B． [12，+∞）
• C． （-∞，6]
• D． [6，+∞）

Answer 1

分析 求出x∈[-2，0），f（x）的最小值為-$\frac{1}{4}$，則對(duì)任意的t∈[1，2）都有-$\frac{1}{4}$≥$\frac{t}{16}-\frac{a}{8{t}^{2}}$成立，從而對(duì)任意的t∈[1，2）都有2a≥t³+4t²．求出右邊的范圍，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：設(shè)x∈[-2，0），則x+2∈[0，2），
∵x∈[0，2）時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x}&{x∈[0，1）}\\{lo{g}_{\sqrt{2}}（x+1）}&{x∈[1，2）}\end{array}\right.$的最小值為-$\frac{1}{4}$，
∴x∈[-2，0），f（x）的最小值為-$\frac{1}{4}$，
∴對(duì)任意的t∈[1，2）都有-$\frac{1}{4}$≥$\frac{t}{16}-\frac{a}{8{t}^{2}}$成立，
∴對(duì)任意的t∈[1，2）都有2a≥t³+4t²．
令y=t³+4t²，則y′=3t²+8t＞0，
∴y=t³+4t²在[1，2）上單調(diào)遞增，
∴5≤y＜24，
∴2a≥24，
∴a≥12，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)恒成立問(wèn)題，函數(shù)的最值，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，是函數(shù)、不等式的綜合應(yīng)用，難度較大．