Question

12．某學(xué)校在一次第二課堂活動(dòng)中，特意設(shè)置了過(guò)關(guān)智力游戲，游戲共五關(guān)．規(guī)定第一關(guān)沒(méi)過(guò)者沒(méi)獎(jiǎng)勵(lì)，過(guò)n（n∈N*）關(guān)者獎(jiǎng)勵(lì)2^n-1件小獎(jiǎng)品（獎(jiǎng)品都一樣）．如圖是小明在10次過(guò)關(guān)游戲中過(guò)關(guān)數(shù)的條形圖，以此頻率估計(jì)概率．
（Ⅰ）估計(jì)小明在1次游戲中所得獎(jiǎng)品數(shù)的期望值；
（II）估計(jì)小明在3次游戲中至少過(guò)兩關(guān)的平均次數(shù)；
（Ⅲ）估計(jì)小明在3次游戲中所得獎(jiǎng)品超過(guò)30件的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)小明在1次游戲中所得獎(jiǎng)品數(shù)為ξ，根據(jù)題意寫(xiě)出ξ 的分布列，
計(jì)算期望值；
（Ⅱ）設(shè)小明在3次游戲中至少過(guò)兩關(guān)的次數(shù)為X，則X～B（3，0.7），
計(jì)算E（X）即可；
（Ⅲ）計(jì)算小明在3次游戲中所得獎(jiǎng)品超過(guò)30件的概率值即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)小明在1次游戲中所得獎(jiǎng)品數(shù)為ξ，則ξ 的分布列為

ξ	0	1	2	4	8	16
P	0.1	0.2	0.3	0.2	0.1	0.1

------（2分）
ξ 的期望值為E（ξ ）=0×0.1+1×0.2+2×0.3+4×0.2+8×0.1+16×0.1=4；-----（4分）
（Ⅱ）小明在1次游戲中至少過(guò)兩關(guān)的概率為0.7，-------（5分）
設(shè)小明在3次游戲中至少過(guò)兩關(guān)的次數(shù)為X，可知X～B（3，0.7），
則X的平均次數(shù)E（X）=3×0.7=2.1；--------（7分）
（Ⅲ）小明在3次游戲中所得獎(jiǎng)品超過(guò)30件含三類(lèi)：
恰好一次ξ=16和兩次ξ=8，恰好二次ξ=16，恰好三次ξ=16，------（8分）
${C}_{3}^{1}$•P（ξ=16）•P（ξ=8）²=3×0.1×0.1²=0.003，-------（9分
${C}_{3}^{2}$•P（ξ=16）²•P（ξ≠16）=3×0.1²×（1-0.1）=0.027，-----（10分）
${C}_{3}^{3}$•P（ξ=16）³=0.1³=0.001；-------（11分）
所以小明在3次游戲中所得獎(jiǎng)品超過(guò)30件的概率為P=0.003+0.027+0.001=0.031．------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問(wèn)題，是綜合題．