Question

3．若方程x³-3ax+2=0（a＞0）有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． a＞0
• B． 0＜a＜1
• C． 1＜a＜3
• D． a＞1

Answer 1

分析 易知a=$\frac{{x}^{3}+2}{3x}$=$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{2}{3x}$，從而令f（x）=$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{2}{3x}$，從而求導(dǎo)f′（x）=$\frac{2}{3}$$\frac{（x-1）（{x}^{2}+x+1）}{{x}^{2}}$，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性與極值，從而解得．

解答 解：易知0不是方程x³-3ax+2=0的根，
故3ax=x³+2，
故a=$\frac{{x}^{3}+2}{3x}$=$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{2}{3x}$，
令f（x）=$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{2}{3x}$，
則f′（x）=$\frac{2}{3}$x-$\frac{2}{3}$$\frac{1}{{x}^{2}}$
=$\frac{2}{3}$$\frac{（x-1）（{x}^{2}+x+1）}{{x}^{2}}$，
故當(dāng)x∈（-∞，0）∪（0，1）時(shí)，f′（x）＜0；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
故f（x）在（-∞，0），（0，1）上單調(diào)遞減，
在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
而$\underset{lim}{x→-∞}$f（x）=+∞，$\underset{lim}{x→{0}^{-}}$f（x）=-∞，$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$f（x）=+∞，f（1）=$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$=1，
$\underset{lim}{x→+∞}$f（x）=+∞；
故當(dāng)a＞1時(shí)，方程a=$\frac{{x}^{3}+2}{3x}$有三個(gè)不同的解，
即方程x³-3ax+2=0（a＞0）有三個(gè)不同的實(shí)根，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)思想的應(yīng)用，同時(shí)考查了構(gòu)造法的應(yīng)用．