Question

6．已知點(diǎn)F是拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，點(diǎn)P（2，y₀）在拋物線C上，且|PF|=3．
（1）求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)F的直線l與拋物線C相交于A，B兩個(gè)不同點(diǎn)，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離相等，可得p值，即可求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；
（2）設(shè)直線l的方程為：x+my-1=0，代入y²=4x，整理得，y²+4my-4=0，利用韋達(dá)定理和拋物線的定義知|AB|=4（m²+1）≥4，由此能求出|AB|的最小值．

解答 解：∵點(diǎn)F是拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，P（2，y₀）是拋物線上一點(diǎn)，|PF|=3，
∴2+$\frac{p}{2}$=3，
解得：p=2，
∴拋物線C的方程為y²=4x，準(zhǔn)線方程為x=-1；
（2）設(shè)直線l的方程為：x+my-1=0，
代入y²=4x，整理得，y²+4my-4=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁，y₂是上述關(guān)于y的方程的兩個(gè)不同實(shí)根，所以y₁+y₂=-4m
根據(jù)拋物線的定義知：|AB|=x₁+x₂+2=（1-my₁）+（1-my₂）=4（m²+1）
∴|AB|=4（m²+1）≥4，
當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)，|AB|有最小值4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查弦的最小值的求法．屬于中檔題．