Question

．．(本題滿(mǎn)分16分)本題共有3個(gè)小題，第1小題滿(mǎn)分5分，第2小題滿(mǎn)分5分，第3小題滿(mǎn)分6分.

已知橢圓上有一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離分別為，。

（1）求橢圓的方程；

（2）如果直線(xiàn)與橢圓相交于，若，證明直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)必在一條確定的雙曲線(xiàn)上；

（3）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)（與軸不垂直）與橢圓交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，，證明：為定值。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由已知

………………………3分

 

所以橢圓方程為�！�……………………5分

（2）依題意可設(shè)，且有

又

，將代入即得

所以直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)必在雙曲線(xiàn)上�！�…………………10分

（3）依題意，直線(xiàn)的斜率存在，故可設(shè)直線(xiàn)的方程為，……………11分

設(shè)、、，則兩點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組

消去并整理，得，

所以， ①    ， ②  ……………………13分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052412165257811754/SYS201205241218317812788215_DA.files/image024.png">，所以，

即所以，又與軸不垂直，所以，

所以，同理。        …………………………14分

所以。

將①②代入上式可得。      …………………………16分

 

【解析】略