Question

（本小題滿分12分）設(shè)二次函數(shù)，關(guān)于的不等式

的解集有且只有一個元素.

（1）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）記，求數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)能組成等比數(shù)列？請說明理由.

Answer 1

（1）

（2）數(shù)列中不存在不同的三項(xiàng)能組成等

比數(shù)列

【解析】

試題分析：第（1）問由不等式的解集有且只有一個元素，得到，然后由此求

出數(shù)列的通項(xiàng)公式，由求通項(xiàng)時注意檢驗(yàn)初始項(xiàng)是否滿足；第（2）問判斷數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)能組成等比數(shù)列.

試題解析：（1）因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集有且只有一個元素，

所以二次函數(shù)（）的圖象與軸相切，

則，考慮到，所以.

從而，

所以數(shù)列的前項(xiàng)和（）. （3分）

于是當(dāng)，時，，

當(dāng)時，，不適合上式．

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．

（2）．

假設(shè)數(shù)列中存在三項(xiàng)，，（正整數(shù)，，互不相等）成等比數(shù)列，則，

即，整理得.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015070706213823776097/SYS201507070622383806917273_DA/SYS201507070622383806917273_DA.028.png">，，都是正整數(shù)，所以，

于是，即，從而與矛盾．

故數(shù)列中不存在不同的三項(xiàng)能組成等比數(shù)列.

考點(diǎn)：數(shù)列通項(xiàng)公式，等比數(shù)列性質(zhì)．