Question

15．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+（2b+1）x-a-2在區(qū)間[3，4]上至少有一個(gè)零點(diǎn)，則a²+b²的最小值為$\frac{1}{100}$．

Answer 1

分析 把等式看成關(guān)于a，b的直線方程：（x²-1）a+2xb+x-2=0，由于直線上一點(diǎn)（a，b）到原點(diǎn)的距離大于等于原點(diǎn)到直線的距離，從而可得$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$≥$\frac{|x-2|}{\sqrt{（{x}^{2}-1）^{2}+（2x）^{2}}}$，從而可得a²+b²≥$（\frac{x-2}{1+{x}^{2}}）^{2}$=$\frac{1}{（x-2+\frac{5}{x-2}+4）^{2}}$；從而解得．

解答 解：把等式看成關(guān)于a，b的直線方程：（x²-1）a+2xb+x-2=0，
由于直線上一點(diǎn)（a，b）到原點(diǎn)的距離大于等于原點(diǎn)到直線的距離，
即$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$≥$\frac{|x-2|}{\sqrt{（{x}^{2}-1）^{2}+（2x）^{2}}}$，
所以a²+b²≥$（\frac{x-2}{1+{x}^{2}}）^{2}$=$\frac{1}{（x-2+\frac{5}{x-2}+4）^{2}}$，
∵x-2+$\frac{5}{x-2}$在[3，4]是減函數(shù)，
∴2+$\frac{5}{2}$≤x-2+$\frac{5}{x-2}$≤1+5；
即$\frac{9}{2}$≤x-2+$\frac{5}{x-2}$≤6；
故$\frac{1}{（x-2+\frac{5}{x-2}+4）^{2}}$≥$\frac{1}{100}$；
當(dāng)x=3，a=-$\frac{2}{25}$，b=-$\frac{3}{50}$時(shí)取等號(hào)，
故a²+b²的最小值為$\frac{1}{100}$．
故答案為：$\frac{1}{100}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)的應(yīng)用，把等式看成關(guān)于a，b的直線方程（x²-1）a+2xb+x-2=0是難點(diǎn)，屬于中檔題．