Question

如圖所示，正三角形ABC中，D，E分別是AB，BC上的一個(gè)三等分點(diǎn)，且分別靠近點(diǎn)A、點(diǎn)B，且AE、CD交于點(diǎn)P．求證：BP⊥DC．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用,空間位置關(guān)系與距離

分析：設(shè)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為，6，取B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC為x軸，BE=2．可求出B，A，D，E，C點(diǎn)的坐標(biāo)．從而可得AE方程，CD方程，解得交點(diǎn)P（

18

7

，

12 3

7

），可求出BP斜率與CD斜率之積為-1，從而證明BP⊥DC．

解答： 解：設(shè)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為，6，取B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC為x軸，BE=2．
則有：B（0，0），A（3，3

3

），D（2，2

3

），E（2，0），C（6，0）．
AE方程：3

3

=

y

x-2

．
CD方程：

2 3

-4

=

y

x-6

．
解得交點(diǎn)P（

18

7

，

12 3

7

）．
BP斜率=

12 3

18

=

2 3

3

．
CD斜率=

2 3

-4

=-

3

2

．
∵

2 3

3

×（-

3

2

）=-1．
∴BP⊥CD

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)，平面向量及應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．