Question

二面角α-EF-β的大小為120°，A是它內部的一點AB⊥α，AC⊥β，B，C分別為垂足．
（1）求證：平面ABC⊥β；
（2）當AB=4cm，AC=6cm，求BC的長及A到EF的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據AB⊥α，EF?α，可知EF⊥AB，同理EF⊥AC，AB，AC是兩條相交直線，從而EF⊥平面ABC，故平面ABC⊥平面β．
（2）設平面ABC與EF交于點D易證，∠BDC是二面角α-EF-β的平面角，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=4 cm，AC=6 cm時，故可求BC，AD是A到EF的距離，利用正弦定理，可求AD的長．
解答：解：（1）∵AB⊥α，EF?α，∴EF⊥AB，
同理EF⊥AC，AB，AC是兩條相交直線，
∴EF⊥平面ABC，
∵EF?β，∴平面ABC⊥平面β．
（2）設平面ABC與EF交于點D，連接BD，CD，則BD，CD?平面ABC，∵EF⊥平面ABC，∴EF⊥BC，EF⊥DC，∠BDC是二面角α-EF-β的平面角，∠BCD=120°，A，B，C，D在同一平面內，且∠ABD=∠ACD=90°，
∴∠BAC=60°，當AB=4 cm，AC=6 cm時，
BC=
又∵A，B，C，D共圓，∵AD是直徑．∵EF⊥平面ABC，AD?平面ABC，
∴AD⊥EF，即AD是A到EF的距離，由正弦定理，得AD==（cm）
點評：本題以二面角為載體，流程面面垂直，考查點線距離，關鍵是利用面面垂直的判定定理．