Question

已知函數(shù)的定義域?yàn)?sub>且，對(duì)任意都有

數(shù)列滿足N.證明函數(shù)是奇函數(shù);求數(shù)列的通項(xiàng)公式;令N, 證明:當(dāng)時(shí),.

(本小題主要考查函數(shù)、數(shù)列、不等式等知識(shí),  考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類(lèi)與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí))

Answer 1

【解析】（1）由于對(duì)任意，都有，

    令，得，解得. …… 1分

    令，得，∵，

   ∴，即.…… 2分 ∴函數(shù)是奇函數(shù).  …… 3分

（2）解：先用數(shù)學(xué)歸納法證明.①當(dāng)時(shí)，，得, 結(jié)論成立.

②假設(shè)時(shí), 結(jié)論成立, 即,當(dāng)時(shí),  由于, ,

又.∴.即時(shí), 結(jié)論也成立.

由①②知對(duì)任意N, .…… 4分

求數(shù)列的通項(xiàng)公式提供下面兩種方法.

 法1:.…………… 5分

 ∵函數(shù)是奇函數(shù)， ∴. ∴.  …… 6分

    ∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.

  ∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為.  ……… 7分

法2:  ∵  …… 5分

    , ∴.… 6分

   ∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.

   ∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為.………… 7分

（3）證法1：由（2）知，∵，

∴.   … 8分∴N，且

∴N,且.… 9分當(dāng)且N時(shí),

 …… 10分

…… 11分     .  

∴.  … 12分∵,∴當(dāng)時(shí),.… 13分

∴當(dāng)時(shí),.  14分

  ………… 12分

  

     

右邊.……… 13 ∴時(shí)，不等式也成立.

 由①②知，當(dāng)時(shí),成立.………… 14分

證法3：由（2）知，故對(duì)，有

.… 8分