Question

某廠根據(jù)市場(chǎng)需求開(kāi)發(fā)折疊式小凳（如圖所示）、凳面為三角形的尼龍布，凳腳為三根細(xì)鋼管、考慮到鋼管的受力和人的舒適度等因素，設(shè)計(jì)小凳應(yīng)滿足：①凳子高度為30cm，②三根細(xì)鋼管相交處的節(jié)點(diǎn)O與凳面三角形ABC重心的連線垂直于凳面和地面．
（1）若凳面是邊長(zhǎng)為20cm的正三角形，三只凳腳與地面所成的角均為45°，確定節(jié)點(diǎn)O分細(xì)鋼管上下兩段的比值（精確到0.01）；
（2）若凳面是頂角為120°的等腰三角形，腰長(zhǎng)為24cm，節(jié)點(diǎn)O分細(xì)鋼管上下兩段之比為2：3、確定三根細(xì)鋼管的長(zhǎng)度（精確到0.1cm）．

Answer 1

分析：（1）設(shè)△ABC的重心為H，連接OH，根據(jù)∠OBH就是OB與平面ABC所成的角，建立BH與OH的等量關(guān)系，解之即可；
（2）設(shè)∠B=120°，△ABC的重心為H，求出OH，分別在Rt△AHO，Rt△CHO，Rt△BHO中求出OA、OB、OC，再根據(jù)比例關(guān)系求出所求即可．

解答：解：（1）設(shè)△ABC的重心為H，連接OH
由題意可得，BH=

20 3

3

設(shè)細(xì)鋼管上下兩段之比為λ
已知凳子高度為30、則OH=

30λ

1+λ

∵節(jié)點(diǎn)O與凳面三角形ABC重心的連線與地面垂直，且凳面與地面平行
∴∠OBH就是OB與平面ABC所成的角，亦即∠OBH=45°
∵BH=OH，∴

30λ

1+λ

=

20 3

3

解得λ=

2 3

9-2 3

≈0.63
即節(jié)點(diǎn)O分細(xì)鋼管上下兩段的比值約為0.63

（2）設(shè)∠B=120°，∴AB=BC=24，AC=24

3

設(shè)△ABC的重心為H，則BH=8，AH=8

7

，
由節(jié)點(diǎn)O分細(xì)鋼管上下兩段之比為2：3，可知OH=12
設(shè)過(guò)點(diǎn)A、B、C的細(xì)鋼管分別為AA'、BB'、CC'，
則AA′=CC′=

5

2

OA=

5

2

OH2+AH2

=10

37

≈60.8，
BB′=

5

2

OB=

5

2

OH2+BH2

=10

13

≈36.1，
∴對(duì)應(yīng)于A、B、C三點(diǎn)的三根細(xì)鋼管長(zhǎng)度分別為60.8cm，36.1cm和60.8cm

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面所成的角，以及三角形重心的應(yīng)用，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于中檔題．