Question

3．銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量$\overrightarrow m=（a，\sqrt{3}b）$與$\overrightarrow n=（cosA，sinB）$平行．
（1）求角A；
（2）若$a=\sqrt{2}$，求△ABC周長的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量共線（平行）的坐標表示可得$asinB-\sqrt{3}bcosA=0$，又sinB≠0，結合正弦定理可得：$tanA=\sqrt{3}$，再結合范圍0＜A＜π，即可求得A的值．
（2）由正弦定理將三角形周長表示為：$l=a+b+c=\sqrt{2}+\frac{{2\sqrt{6}}}{3}（{sinB+sinC}）$，結合$C=\frac{2π}{3}-B$，可求$sinB+sinC=sinB+sin（\frac{2π}{3}-B）=\sqrt{3}sin（B+\frac{π}{6}）$，根據(jù)范圍$\frac{π}{6}＜B＜\frac{π}{2}$，可求$sinB+sinC∈（{\frac{3}{2}，\sqrt{3}}]$，從而得解周長的求值范圍．

解答 解：（1）因為：$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$，
所以：$asinB-\sqrt{3}bcosA=0$，
由正弦定理，得：$sinAsinB-\sqrt{3}sinBcosA=0$，
又因為：sinB≠0，
從而可得：$tanA=\sqrt{3}$，
由于：0＜A＜π，
所以：$A=\frac{π}{3}$．
（2）因為：由正弦定理知$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，
可得：三角形周長$l=a+b+c=\sqrt{2}+\frac{{2\sqrt{6}}}{3}（{sinB+sinC}）$，
又因為：$C=\frac{2π}{3}-B$，
所以：$sinB+sinC=sinB+sin（\frac{2π}{3}-B）=\sqrt{3}sin（B+\frac{π}{6}）$，
因為：△ABC為銳角三角形，
所以：$\frac{π}{6}＜B＜\frac{π}{2}$，$B+\frac{π}{6}∈（{\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}}）$，$sinB+sinC∈（{\frac{3}{2}，\sqrt{3}}]$，
所以：$l∈（{\sqrt{6}+\sqrt{2}，3\sqrt{2}}]$．

點評 本題主要考查了平面向量共線（平行）的坐標表示，正弦定理，正弦函數(shù)，正切函數(shù)的圖象和性質，考查了轉化思想和數(shù)形結合思想，屬于中檔題．