Question

【題目】已知定點，圓，過R點的直線交圓于M，N兩點過R點作直線交SM于Q點.

（1）求Q點的軌跡方程；

（2）若A，B為Q的軌跡與x軸的左右交點，為該軌跡上任一動點，設直線AP，BP分別交直線l：于點M，N，判斷以MN為直徑的圓是否過定點。如圓過定點，則求出該定點；如不是，說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 以MN為直徑的圓經過定點

【解析】

(1) 利用,,可以推出,

根據(jù)可知: 動點的軌跡是以 為焦點,長軸長為4的橢圓,進而可以寫出Q點的軌跡方程.

(2)設,求出的坐標后,再求出 的中點坐標,然后求出以 為直徑的圓的方程,令可求得 為定值,所以圓過定點.

(1)如圖:

因為,,

所以,

所以,

根據(jù)橢圓的定義知:動點的軌跡是以 為焦點,長軸長為4的橢圓,

這里,

所以 點的軌跡方程為:.

(2)由題可知,設,

所以,則直線的方程為:,

令,則,

所以 ,

因為,則直線的方程為:,

令,則 ,所以,

所以的中點坐標為,此時圓的方程為:

,

令,得,又,所以 , 解得:,

故以MN為直徑的圓經過定點.