Question

(本題滿分12分) 如圖，在組合體中，是一個(gè)長(zhǎng)方體，是一個(gè)四棱錐．，，點(diǎn)且．

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）求與平面所成的角的正切值；

（Ⅲ）若，當(dāng)為何值時(shí)，．

Answer 1

（Ⅱ）    （Ⅲ）

解析:

(Ⅰ)證明：因?yàn)?img width=95 height=21 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/56/29656.gif">，，所以為等腰直角三角形，

所以   ………… 1分

因?yàn)?img width=113 height=21 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/60/29660.gif">是一個(gè)長(zhǎng)方體，所以，而，所以，

所以．………………3分

因?yàn)?img width=25 height=16 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/65/29665.gif">垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線和，由線面垂直的判定定理，

可得．……………4分

(Ⅱ)解：過點(diǎn)在平面作于，連接．……5分

因?yàn)?img width=119 height=20 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/75/29675.gif">，所以，所以就是與平面所成的角．……6分

因?yàn)?img width=43 height=16 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/80/29680.gif">，，所以．        ……7分

所以與平面所成的角的正切值為．                   ……8分

(Ⅲ)解：當(dāng)時(shí)，．                             ……9分

當(dāng)時(shí)，四邊形是一個(gè)正方形，所以，而，所以，

所以．                                 ……10分

而，與在同一個(gè)平面內(nèi)，所以．     ……11分

而，所以，

所以．                     ……12分

方法二、方法二：(Ⅰ)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長(zhǎng)，則有，，，．……2分   

于是，，，所以，．……3分

所以垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線和，由線面垂直的判定定理，可得．           ……4分

(Ⅱ)，所以，而平面的一個(gè)法向量為．…5分

所以．                            ……6分

所以與平面所成的角的正弦值為．                 ……7分

所以與平面所成的角的正切值為．                 ……8分

(Ⅲ)，所以，．設(shè)平面的法向量為，則有，令，可得平面的一個(gè)法向量為

．                                                   ……10分

若要使得，則要，即，解得．…11分

所以當(dāng)時(shí)，．                               ……12分