Question

15．已知f（x）=x²-3a²，g（x）=（2a+1）x．
（1）若不等式f（x）＜g（x）的解集中有且僅有一個整數(shù)，求a的取值范圍．
（2）若|f（x）-g（x）|≤4a在x∈[1，4a]恒成立，試確定a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令h（x）=x²-（2a+1）x-3a²，通過討論a=0，a≠0兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，得到不等式組，從而求出a的范圍；
（2）通過討論a的范圍，若$\frac{1}{4}$＜a≤1，則$\left\{\begin{array}{l}{|h（1）|≤4a}\\{|h（4a）|≤4a}\end{array}\right.$；若a＞1，|h（4a）|=|5a²|≤4a，解不等式組，判斷即可得到所求范圍．

解答 解：（1）令h（x）=x²-（2a+1）x-3a²，
若a=0，則h（x）=x²-x，令h（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）＜g（x）的解集為（0，1），不滿足條件；
若a≠0，則h（0）＜0，
由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{h（1）≥0}\\{h（-1）≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-2a-3{a}^{2}≥0}\\{2+2a-3{a}^{2}≥0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{3}≤a≤0}\\{\frac{1-\sqrt{7}}{3}≤a≤\frac{1+\sqrt{7}}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1-\sqrt{7}}{3}$≤a＜0；
（3）令h（x）=f（x）-g（x）=x²-（2a+1）x-3a²，
若$\frac{1}{4}$＜a≤1，h（x）在[1，4a]遞增，則$\left\{\begin{array}{l}{|h（1）|≤4a}\\{|h（4a）|≤4a}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{|1-2a-3{a}^{2}|≤4a}\\{|5{a}^{2}|≤4a}\end{array}\right.$，得$\frac{1}{4}$＜a≤$\frac{4}{5}$，
若a＞1，|h（4a）|=|5a²|≤4a不成立．
所以a的取值范圍是（$\frac{1}{4}$，$\frac{4}{5}$]．

點評 本題考查二次不等式的解法，考查絕對值不等式恒成立問題的解法，注意運用分類討論的思想方法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．