Question

【題目】已知橢圓：，，為橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓的右焦點(diǎn)為，橢圓的離心率為.

（1）設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，求的值；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓交于，（其中，分別在軸的上、下方）兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，記、的面積分別為、，求的最小值，并求此時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

Answer 1

【答案】（1）

（2）最小值為，此時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

【解析】

（1）設(shè)在軸上方，根據(jù)，利用直角三角形中線定理得到，，再由直線的傾斜角為，得到，然后代入求解。

（2）設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立消去得，，利用三角形面積公式，，結(jié)合韋達(dá)定理，建立，再利用基本不等式求最小值.

（1）不妨設(shè)在軸上方.

因?yàn)橹本�與橢圓交于，兩點(diǎn)，所以，

因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)為，且，所以，

設(shè)橢圓的半焦距為，則，代入得，，

因?yàn)?/span>，

所以，所以，

解得，；

（2）設(shè)直線的方程為（為橢圓的半焦距），

與聯(lián)立消去得，，

設(shè)，的坐標(biāo)分別為，，

所以，，

，

因?yàn)?/span>，所以，所以，

同理得，，

所以

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即，，時(shí)，取等號(hào)，

所以取得最小值為，

此時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.