Question

(本題滿分14分)

橢圓G：的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁、F₂，短軸兩端點(diǎn)B₁、B₂，已知

F₁、F₂、B₁、B₂四點(diǎn)共圓，且點(diǎn)N（0，3）到橢圓上的點(diǎn)最遠(yuǎn)距離為

  （1）求此時(shí)橢圓G的方程；

  （2）設(shè)斜率為k（k≠0）的直線m與橢圓G相交于不同的兩點(diǎn)E、F，Q為EF的中點(diǎn)，問E、F兩點(diǎn)能否關(guān)于過點(diǎn)P（0，）、Q的直線對稱？若能，求出k的取值范圍；若不能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，線段F₁F₂與線段B₁B₂互相垂直平分，故橢圓中心即為該四點(diǎn)外接圓的圓心       …………………1分

       故該橢圓中即橢圓方程可為     ………3分

       設(shè)H（x,y）為橢圓上一點(diǎn)，則

       ……………  4分

       若，則有最大值     …………………5分

       由（舍去）(或b²+3b+9<27,故無解)……………   6分

       若…………………7分

       由∴所求橢圓方程為…………………    8分

設(shè)，則由   兩式相減得

……③又直線PQ⊥直線m   ∴直線PQ方程為

將點(diǎn)Q（）代入上式得，……④…………………11分

由③④得Q（）…………………12分而Q點(diǎn)必在橢圓內(nèi)部，

       由此得,故當(dāng)

時(shí)，E、F兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P、Q的直線對稱……   14分