Question

【題目】已知函數(shù)， .

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當時，對任意的，存在，使得成立，試確定實數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，無遞減區(qū)間；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；（2）.

【解析】

（1）求得的導(dǎo)函數(shù)，對分成和兩種情況，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

（2）將問題轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值，結(jié)合（1）對分成三種情況進行分類討論，求得的最小值.從而確定的取值范圍.

（1）由，得.當時，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，沒有減區(qū)間.當時，由，解得；由，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.綜上所述，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，無遞減區(qū)間；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.

（2）當時，對任意，存在，使得成立，只需成立.

由，得.令，則.所以當時，，當時，.所以在上遞減，在上遞增，且，所以.所以，即在上遞增，所以在上遞增，所以.

由（1）知，當時，在上遞增，在上遞減，

①當即時，在上遞減，；

②當即時，在上遞增，在上遞減，，由，

當時，，此時，

當時，，此時，

③當即時，在上遞增，，

所以當時，，

由，得

當時，，

由，得．

．綜上，所求實數(shù)m的取值范圍是．