Question

14．設(shè)集合A={x|x²-x-12≥0}，B={x|x²-3px+（p+1）（2p-1）≤0，p＜2}．
（1）若A∩B=B，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．
（2）A∩B=∅，且復(fù)數(shù)z滿足z²-2z+p²+1=0，求|z|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出集合A={x|x≤-3，或x≥4}，B={x|2p-1≤x≤p+1}，根據(jù)A∩B=B便可得到$\left\{\begin{array}{l}{p＜2}\\{p+1≤-3，或2p-1≥4}\end{array}\right.$，解該不等式組即可得出實(shí)數(shù)p的取值范圍；
（2）根據(jù)A∩B=∅容易求出-1＜p＜2，而根據(jù)z²-2z+p²+1=0便可得到（z-1）²=（pi）²，從而可以得出z=1+pi，從而|z|=$\sqrt{1+{p}^{2}}$，這樣根據(jù)p的范圍，求出p²的范圍，進(jìn)一步求出$\sqrt{1+{p}^{2}}$的范圍，即求出|z|的取值范圍．

解答 解：（1）A={x|x≤-3，或x≥4}，B={x|2p-1≤x≤p+1}；
若A∩B=B，則B⊆A；
∴$\left\{\begin{array}{l}{p＜2}\\{p+1≤-3或2p-1≥4}\end{array}\right.$；
解得p≤-4；
∴實(shí)數(shù)p的取值范圍為：（-∞，-4]；
（2）∵A∩B=∅；
∴$\left\{\begin{array}{l}{p＜2}\\{2p-1＞-3}\\{p+1＜4}\end{array}\right.$；
∴-1＜p＜2；
由z²-2z+p²+1=0得，（z-1）²=（pi）²；
∴z-1=pi；
∴z=1+pi；
∴$|z|=\sqrt{1+{p}^{2}}$；
-1＜p＜2；
∴0≤p²＜4；
∴1≤1+p²＜5；
∴$1≤\sqrt{1+{p}^{2}}＜\sqrt{5}$；
即$1≤|z|＜\sqrt{5}$；
∴|z|的取值范圍為：$[1，\sqrt{5}）$．

點(diǎn)評(píng) 考查一元二次不等式的解法，交集、子集，及空集的定義，復(fù)數(shù)模的概念及求法，以及二次函數(shù)值域的求法．