Question

已知tanα=

3

，求

sin(α+nπ)cos(α-nπ)

sin(α+nπ)+sin(α-nπ)

(n∈Z)的值．

Answer 1

分析：在對原式化簡時，要用誘導公式，從而要對n分n=2k，n=2k+1兩種情況討論進行化簡，然后把tanα=

3

代入可求．

解答：解：（1）當n=2k時，原式=

sin(α+2kπ)cos(α-2kπ)

sin(α+2kπ)+sin(α-2kπ)

=

sinαcosα

sinα+sinα

=

cosα

2

，
由tanα=

3

，得sinα=

3

cosα，又sin²α+cos²α=1，解得cosα=±

1

2

，
∴原式=±

1

4

（2）當n=2k+1時，原式=

sin(α+2kπ+π)cos(α-2kπ-π)

sin(α+2kπ+π)+sin(α-2kπ-π)

=

sin(α+π)cos(α-π)

sin(α+π)+sin(α-π)

=

sin(α+π)cos(π-α)

sin(α+π)-sin(π-α)

=

(-sinα)•(-cosα)

-sinα-sinα

=-

cosα

2

，
由（1）得，原式=±

1

4

．
∴原式=±

1

4

．

點評：本題主要考查了誘導公式在三角函數(shù)化簡、求值中的應(yīng)用，由于誘導公式的應(yīng)用會有符號的變換，從而需對n進行奇偶討論，體現(xiàn)了分類討論的思想．