Question

已知數列{a_n}的前n項和為s_n滿足：sn=2an-2n(n∈N*)．
（I）已知數列{c_n}滿足c_n=a_n+2，求證數列{c_n}為等比數列；
（II）若數列{b_n}滿足bn=lo

g

2

(an+2)，T_n為數列(

bn

an+2

)的前n項和，證：Tn≥

1

2

．

Answer 1

分析：（I）由S_n+2n=2a_n，知S_n=2a_n-2n．當n=1 時，S₁=2a₁-2，則a₁=2，當n≥2時，S_n-1=2a_n-1-2（n-1），故a_n=2a_n-1+2，由此能夠求出數列{a_n}的通項公式a_n．
（II）由（I）可以求出bn=lo

g

2

(an+2)=n+1，

bn

an+2

=

n+1

2n+1

，利用錯位相減法求出T_n，再根據數列的函數性質證明證Tn≥

1

2

．

解答：解：（I）∵S_n=2a_n-2n，
當n∈N^*時，S_n=2a_n-2n，①
當n=1時，S₁=2a₁-2，則a₁=2，
則當n≥2，n∈N^*時，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）．②
①-②，得a_n=2a_n-2a_n-1-2，
即a_n=2a_n-1+2，
∴a_n+2=2（a_n-1+2）
∵c_n=a_n+2即c_n=2c_n-1，
∴

cn

cn-1

=2，
∴{c_n}是以a₁+2=4為首項，以2為公比的等比數列．
（II）由（Ⅰ）得出a_n+2=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹
∴bn=lo

g

2

(an+2)=n+1，
∴

bn

an+2

=

n+1

2n+1

T_n=

2

22

+

3

23

+…+

n+1

2n+1

1

2

T_n=

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

+

n+1

2n+2

兩式相減

1

2

T_n=

2

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

n+1

2n+2

=

1

2

+

1 23 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-

n+1

2n+2

=

3

4

-

n+3

2n+2

T_n=

3

2

-

n+3

2n+1

，T_n+1-T_n=

n+2

2n+2

＞0，
∴T_n的最小值為T₁=

3

2

-

4

22

=

1

2

∴Tn≥

1

2

．

點評：本題考查等比數列的證明和數列求和，數列的函數性質，注意構造法和錯位相減法的合理運用．