Question

5．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點為F（1，0），且點（-1，$\frac{3}{2}$）在橢圓上，過點P（4，0）且不垂直于x軸直線l與橢圓C相交于A、B兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范圍；
（Ⅲ）若點B關(guān)于x軸的對稱點是E，證明：直線AE過定點．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可知c=1，從而得a²=b²+1，$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{\frac{9}{4}}{^{2}}$=1，從而求得橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）由題意知直線AB的斜率存在，故設(shè)直線AB的方程為y=k（x-4）；與橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1聯(lián)立化簡可得（4k²+3）x²-32k²x+64k²-12=0；從而可解得k²＜$\frac{1}{4}$；再設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；從而可得x₁+x₂=$\frac{32{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{64{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$；化簡y₁y₂=k（x₁-4）k（x₂-4）=k²x₁x₂-4k²（x₁+x₂）+16k²，從而可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）$\frac{64{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$-4k²$\frac{32{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$+16k²=25-$\frac{87}{4{k}^{2}+3}$；從而求其取值范圍；
（Ⅲ）可設(shè)E（x₂，-y₂）；從而寫出直線AE的方程為y-y₁=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$（x-x₁），令y=0并化簡可得x=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-4（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}-8}$；再將x₁+x₂=$\frac{32{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{64{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$代入化簡可得x=1；從而證明．

解答 解：（Ⅰ）由題意，c=1，
a²=b²+1，$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{\frac{9}{4}}{^{2}}$=1，
解得，a²=4，b²=3；
故橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）由題意知直線AB的斜率存在，
設(shè)直線AB的方程為y=k（x-4）；
與橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1聯(lián)立化簡可得，
（4k²+3）x²-32k²x+64k²-12=0；
則令△=（-32k²）²-4（4k²+3）（64k²-12）＞0得，
k²＜$\frac{1}{4}$；
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；
則x₁+x₂=$\frac{32{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{64{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$；
則y₁y₂=k（x₁-4）k（x₂-4）=k²x₁x₂-4k²（x₁+x₂）+16k²，
則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）$\frac{64{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$-4k²$\frac{32{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$+16k²=25-$\frac{87}{4{k}^{2}+3}$；
∵0≤k²＜$\frac{1}{4}$，
∴-$\frac{87}{3}$≤-$\frac{87}{4{k}^{2}+3}$＜-$\frac{87}{4}$；
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$∈[-4，$\frac{13}{4}$）．
（Ⅲ）證明：∵點B關(guān)于x軸的對稱點是E，
∴E（x₂，-y₂）；
直線AE的方程為
y-y₁=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$（x-x₁），
令y=0得，
x=x₁-$\frac{{y}_{1}（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{y}_{1}+{y}_{2}}$
=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-4（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}-8}$；
將x₁+x₂=$\frac{32{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{64{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$代入化簡可得，
x=1；
故直線AE與x軸交于定點（1，0）．
即直線AE過定點．

點評 本題考查了橢圓的方程的求法及學(xué)生的化簡與運算能力，化簡很復(fù)雜，屬于難題．