Question

把自然數(shù)按上小下大、左小右大的原則排成如圖的三角形數(shù)表（每行比上一行多一個數(shù)）．設(shè)a_ij（i，j∈N^*）是位于這個三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行、從左往右數(shù)的第j個數(shù)（如a₄₂=8）．
（1）試用i表示a_ii（不要求證明）；
（2）若a_ij=2008，求i，j的值；
（3）記三角形數(shù)表從上往下數(shù)第n行的各數(shù)之和為b_n，令cn=

1，(n=1) n bn-n ，(n≥2)

，若數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可知三角形數(shù)表中前n行的個數(shù)，進而可推知第i行的最后一個數(shù)進而可得a_ii．
（2）先求使得i是不等式

i(i+1)

2

≥2008的最小正整數(shù)解．由

i(i+1)

2

≥2008，得i²+i-4016≥0進而可解得i的范圍確定i的最小值．
（3）先求得前n行的所有自然數(shù)的和進而根據(jù)b_n=S_n-S_n-1求得b_n，代入C_n中進而通過裂項法求得T_n．

解答：解：（1）∵三角形數(shù)表中前n行共有1+2++n=

n(n+1)

2

個，
即第i行的最后一個數(shù)是

i(i+1)

2

∴a_ii=

i(i+1)

2

（2）由題意，先求使得i是不等式

i(i+1)

2

≥2008的最小正整數(shù)解．
由

i(i+1)

2

≥2008，得i²+i-4016≥0
∵i∈N^*，∴i≥

-1+ 16065

2

＞

-1+ 15876

2

=

-1+126

2

=62.5，∴i=63

（3）前n行的所有自然數(shù)的和為Sn=

1

2

×

n(n+1)

2

[

n(n+1)

2

+1]=

n(n+1)(n2+n+2)

2

則bn=Sn-Sn-1=

n(n2+1)

2

，
所以，當(dāng)n≥2時，cn=

n

bn-n

=

2

n2-1

=

1

n-1

-

1

n+1

，Tn=1+(

1

1

-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)++(

1

n-1

-

1

n+1

)
=1+1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

=

5

2

-

1

n

-

1

n+1

=

5

2

-

2n+1

n(n+1)

當(dāng)n=1時，T_n=1也適合，
∴Tn=

5

2

-

2n+1

n(n+1)

 (n∈N*)．

點評：本題主要考查了數(shù)列的遞推式．?dāng)?shù)列的遞推式是高考中常考的題目，常與求數(shù)列的通項公式和前n項和一塊考查，有時也涉及與函數(shù)、不等式等問題，綜合性很強．