Question

【題目】（1）研究函數(shù)f（x）在（0，π）上的單調(diào)性；

（2）求函數(shù)g（x）＝x2+πcosx的最小值．

Answer 1

【答案】（1）f（x）在（0，π ）遞減；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)，求導(dǎo)得，設(shè)m（x）＝xcos x﹣sinx，x∈（0，π），通過求導(dǎo)來判斷其正負(fù)，從而得到f′（x）的正負(fù)，進(jìn)而研究f（x）的單調(diào)性.

（2）易知g（x）是偶函數(shù)，故只需求x∈[0，+∞）時g（x）的最小值，求導(dǎo)得g′（x）＝2x﹣πsin x，根據(jù)sinx的特點(diǎn)，分x∈（0，）和時兩種情況討論g（x）單調(diào)性，進(jìn)而求其最小值.

（1）因為，所以，

設(shè)m（x）＝xcos x﹣sinx，x∈（0，π），

m′（x）＝﹣xsin x＜0，

所以m（x）在（0，π ）遞減，則m（x）＜m（0）＝0

故f′（x）＜0，所以f（x）在（0，π ）遞減；

（2）觀察知g（x）為偶函數(shù)，故只需求x∈[0，+∞）時g（x）的最小值，

由g′（x）＝2x﹣πsin x，當(dāng)x∈（0，） 時，設(shè)n（x）＝2x﹣π sin x，則n′（x）＝2﹣π cos x，顯然 n′（x） 遞增，

而n′（0）＝2﹣π＜0，，

由零點(diǎn)存在定理，存在唯一的，使得n′（x0）＝0

當(dāng)x∈（0，x0）時，n′（x）＜0，n（x）遞減，

當(dāng)時，n′（x）＞0，n（x）遞增，

而n（0）＝0，，故時，n（x）＜0，

即時，g′（x）＜0，則g（x）遞減；

又當(dāng)時，2x＞π＞π sin x，g′（x）＞0，g（x） 遞增；

所以．