Question

【題目】設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點，、兩點分別是橢圓的上、下頂點，是等腰直角三角形，延長交橢圓于點，且的周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)點是橢圓上異于、的動點，直線、與直線分別相交于、兩點，點，試問：外接圓是否恒過軸上的定點（異于點）？若是，求該定點坐標(biāo)；若否，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，且定點坐標(biāo)為.

【解析】

（1）利用橢圓的定義可求得的值，再由是等腰直角三角形可求得、的值，由此可得出橢圓的方程；

（2）設(shè)點，求出直線、的斜率之積為，設(shè)直線的方程為，可得出直線的方程，進(jìn)而可求得點、的方程，假設(shè)的外接圓過軸上的定點，求出的外接圓圓心的坐標(biāo)，由結(jié)合兩點間的距離公式可求得的值，進(jìn)而可求得定點的坐標(biāo).

（1）因為的周長為，由定義可得，，

所以，所以，

又因為是等腰直角三角形，且，所以，

所以橢圓的方程為：；

（2）設(shè)，，則，

所以直線與的斜率之積，

設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為：，

直線的方程：，

由，可得，同理，

假設(shè)的外接圓恒過定點，，

由于線段的垂直平分線所在直線的方程為，

線段的垂直平分線所在直線的方程為，則其圓心，

又，所以，解得，

所以的外接圓恒過定點.