Question

13．在棱長為4的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M和N分別為A₁B₁和BB₁的中點，那么直線AM和CN所成的角的余弦值是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{10}}{10}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{2}{5}$

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直線坐標系，利用向量法能求出直線AM和CN所成的角的余弦值．

解答 解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直線坐標系，
則A（4，0，0），M（4，2，4），C（0，4，0），N（4，4，2），
$\overrightarrow{AM}$=（0，2，4），$\overrightarrow{CN}$=（4，0，2），
設直線AM和CN所成的角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{CN}|}{|\overrightarrow{AM}|•|\overrightarrow{CN}|}$=$\frac{8}{\sqrt{20}•\sqrt{20}}$=$\frac{2}{5}$．
∴直線AM和CN所成的角的余弦值是$\frac{2}{5}$．
故選：D．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．