Question

20．在區(qū)間[0，1]上給定曲線y=x²．
（1）當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時(shí)，求S₁值．
（2）試在此區(qū)間內(nèi)確定點(diǎn)t的值，使圖中所給陰影部分的面積S₁與S₂之和最小．

Answer 1

分析 （1）利用定積分的幾何意義首先表示S₁，然后計(jì)算；
（2）利用t分別用定積分表示兩部分的面積，然后整理得到關(guān)于t的式子，結(jié)合解析式特點(diǎn)求最小值．

解答 解：（1）當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時(shí)，S₁=${∫}_{0}^{\frac{1}{2}}（\frac{1}{4}-{x}^{2}）dx$=（$\frac{1}{4}x-\frac{1}{3}{x}^{3}$）|${\;}_{0}^{\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{12}$；
（2）設(shè)0≤t≤1
當(dāng)x=t時(shí)，y=t²
∴S₁=${∫}_{0}^{t}（{t}^{2}-{x}^{2}）dx$=（t²x$-\frac{1}{3}{x}^{3}$）|${\;}_{0}^{t}$=$\frac{2}{3}{t}^{3}$，
S₂=${∫}_{t}^{1}（{x}^{2}-{t}^{2}）dx$=（$\frac{1}{3}{x}^{3}-{t}^{2}x$）|${\;}_{t}^{1}$=$\frac{2}{3}{t}^{3}-{t}^{2}+\frac{1}{3}$，
∴陰影部分的面積為S₁+S₂=f（t）=$\frac{4}{3}{t}^{3}-{t}^{2}-\frac{1}{3}$（0≤t≤1）
f'（t）=4t²-2t，令f'（t）=0可得t₁=0或t₂=$\frac{1}{2}$，
由f（0）=$\frac{1}{3}$，f（1）=$\frac{2}{3}$，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，
可知當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時(shí)，S₁+S₂有最小值$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用定積分表示封閉圖形的面積與求函數(shù)最小值；關(guān)鍵是利用定積分表示封閉圖形的面積．