Question

已知點(diǎn)A（-2，0）、B（2，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足∠APB=2θ（θ∈（0，

π

2

））．給出以下命題：
①當(dāng)θ=

π

4

時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x²+y²=4，y≠0；
②若θ（θ≠

π

4

）為定值，則點(diǎn)P的軌跡是以Q（0，

2

tan2θ

）為圓心、QA為半徑的一段圓��；
③若|PA|•|PB|（cos²θ-

1

2

）=2，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x²+y²=8；
④若動(dòng)點(diǎn)P恰在橢圓

x2

b2+4

+

y2

b2

=1（b＞0）上，則△PAB的面積為b²tanθ．
其中，正確說(shuō)法的序號(hào)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：對(duì)四個(gè)選項(xiàng)，進(jìn)行分析，即可得出結(jié)論．

解答： 解：①當(dāng)θ=

π

4

時(shí)，AP⊥BP，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，方程為x²+y²=4，y≠0，正確；
②若θ（θ≠

π

4

）為定值，則tan2θ=

y x-2 - y x+2

1+ y x-2 • y x+2

=

4y

x2+y2-4

，∴點(diǎn)P的軌跡是以Q（0，

2

tan2θ

）為圓心、QA為半徑的圓，故不正確；
③若|PA|•|PB|（cos²θ-

1

2

）=2，則|PA|•|PB|cos2θ=4，∴PA²+PB²-AB²=8，∴PA²+PB²=24，可得x²+y²=8，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x²+y²=8，正確；
④若動(dòng)點(diǎn)P恰在橢圓

x2

b2+4

+

y2

b2

=1（b＞0）上，點(diǎn)A（-2，0）、B（2，0），△PAB為焦點(diǎn)三角形，則△PAB的面積為b²tanθ，正確．
故答案為：①③④

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程，考查圓的方程，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．