Question

15．若P（x，y）為圓x²+y²-6x-4y+12=0上的點，則$\frac{y}{x}$的最大值為$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 化圓的一般方程為標準方程，作出圖形，利用$\frac{y}{x}$的幾何意義，即圓上的點與坐標原點連線的斜率，結(jié)合點到直線的距離公式求解．

解答 解：由圓x²+y²-6x-4y+12=0，得（x-3）²+（y-2）²=1．
畫出圖形如圖，

$\frac{y}{x}$的幾何意義為圓上的點與坐標原點連線的斜率．
設(shè)過原點與圓x²+y²-6x-4y+12=0相切的直線方程為y=kx．
由$\frac{|3k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，解得：k=$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$或k=$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$．
∴$\frac{y}{x}$的最大值為$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$．
故答案為：$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是基礎(chǔ)題．