Question

9．已知f（x）=e^x-ax²-2x+b（e為自然對數(shù)的底數(shù)，a，b∈R）．
（Ⅰ）設(shè)f′（x）為f（x）的導函數(shù)，證明：當a＞0時，f′（x）的最小值小于0；
（Ⅱ）若a＜0，f（x）＞0恒成立，求符合條件的最小整數(shù)b．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令g（x）=f'（x）=e^x-2ax-2，求出g'（x）=e^x-2a，判斷導函數(shù)的符號，推出單調(diào)性，求出原函數(shù)的導數(shù)的最小值，再構(gòu)造最小值函數(shù)，利用導數(shù)求解最小值函數(shù)的最大值為負值，說明f'（x）_min＜0成立．（Ⅱ）利用f（x）＞0恒成立，等價于f（x）_min＞0恒成立，構(gòu)造g（x）=f'（x）=e^x-2ax-2，求出導函數(shù)g'（x）=e^x-2a，判斷單調(diào)性，推出$f{（x）_{min}}=f（{x_0}）={e^{x_0}}-ax_0^2-2{x_0}+b＞0$恒成立且${e^{x_0}}-2a{x_0}-2=0$求出b的表達式，a的表達式，在構(gòu)造函數(shù)令$m（x）=（\frac{x}{2}-1）{e^x}+x，x∈（0，ln2）$，判斷單調(diào)性，求出滿足橢圓的b即可．
法2：令x=0，得到符合條件的最小整數(shù)b=0，然后證明b=0時，f（x）＞0   求f（x）=e^x-ax²-2x的最小值．令g（x）=f'（x）=e^x-2ax-2，判斷g（x）單調(diào)性，求解函數(shù)$f{（x）_{min}}=f（{x_0}）={e^{x_0}}-ax_0^2-2{x_0}$，且${e^{x_0}}-2a{x_0}-2=0$，在構(gòu)造函數(shù)函數(shù)$p（x）=（1-\frac{x}{2}）{e^x}-x，x∈（0，ln2）$，利用函數(shù)的最值，推出b=0是符合條件的．

解答 解：（Ⅰ）證明：令g（x）=f'（x）=e^x-2ax-2，則g'（x）=e^x-2a，
因為a＞0，令g'（x₀）=0，x₀=ln2a，
所以當x∈（-∞，ln2a）時，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；
當x∈（ln2a，+∞）時，g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增--------------------（2分）
則f'（x）_min=g（x）_min=g（ln2a）=e^ln2a-2aln2a-2=2a-2aln2a-2--------------------（3分）
令G（x）=x-xlnx-2，（x＞0）G'（x）=1-（lnx+1）=-lnx當x∈（0，1）時，
G'（x）＞0，G（x）單調(diào)遞增
當x∈（1，+∞）時，G'（x）＜0，G（x）單調(diào)遞減
所以G（x）_max=G（1）=-1＜0，所以f'（x）_min＜0成立．--------------------（5分）
（Ⅱ）f（x）＞0恒成立，等價于f（x）_min＞0恒成立
令g（x）=f'（x）=e^x-2ax-2，則g'（x）=e^x-2a，
因為a＜0，所以g'（x）＞0，所以g（x）單調(diào)遞增，
又g（0）=-1＜0，g（1）=e-2a-2＞0，所以存在x₀∈（0，1），使得g（x₀）=0---------------------（6分）
則x∈（-∞，x₀）時，g（x）=f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
x∈（x₀，+∞）時，g（x）=f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
所以f（x）_min=f（x₀）=e^x₀-ax₀²-2x₀+b＞0恒成立…（1）
且e^x₀-2ax₀-2=0…（2）
由（1）（2），$b＞-{e^{x_0}}+ax_0^2+2{x_0}=-{e^{x_0}}+{x_0}（\frac{{{e^{x_0}}}}{2}-1）+2{x_0}=（\frac{x_0}{2}-1）{e^{x_0}}+{x_0}$即可----------（8分）
又由（2）a=$\frac{{{e^{x_0}}-2}}{{2{x_0}}}$＜0，所以x₀∈（0，ln2）---------------------（9分）
令$m（x）=（\frac{x}{2}-1）{e^x}$+x，x∈（0，ln2）n（x）=m'（x）=$\frac{1}{2}（x-1）{e^x}$+1n'（x）=$\frac{1}{2}x{e^x}$＞0，
所以n（x）＞n（0）=$\frac{1}{2}$＞0，所以m（x）單調(diào)遞增，m（x）＞m（0）=（-1）e⁰=-1，$m（x）＜m（ln2）=（\frac{ln2}{2}-1）{e^{ln2}}$+ln2=2ln2-2---------------------（11分）
所以b＞-1，所以符合條件的b=0---------------------（12分）
法2：令x=0，f（0）=1+b＞0，b＞-1，故符合條件的最小整數(shù)b=0．-------------------（6分）
現(xiàn)證明b=0時，f（x）＞0   求f（x）=e^x-ax²-2x的最小值即可
令g（x）=f'（x）=e^x-2ax-2，則g'（x）=e^x-2a，因為a＜0，所以g'（x）＞0，所以g（x）單調(diào)遞增，
又g（0）=-1＜0，g（1）=e-2a-2＞0，所以存在x₀∈（0，1），使得g（x₀）=0，
則x∈（-∞，x₀）時，g（x）=f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
x∈（x₀，+∞）時，g（x）=f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
所以f（x）_min=f（x₀）=e^x₀-ax₀²-2x₀．（1）
且e^x₀-2ax₀-2=0…（2）
f（x）_min=f（x₀）=e^x₀-$\frac{x_0}{2}（{e^{x_0}}-2）-2{x_0}=（1-\frac{x_0}{2}）{e^{x_0}}-{x_0}$---------------（8分）
又由（2）a=$\frac{{{e^{x_0}}-2}}{{2{x_0}}}$＜0，所以x₀∈（0，ln2）---------------（9分）
現(xiàn)在求函數(shù)$p（x）=（1-\frac{x}{2}）{e^x}$-x，x∈（0，ln2）的范圍q（x₀）=p'（x）=$\frac{1}{2}（1-x）{e^x}$-1，q'（x₀）=-$\frac{1}{2}x{e^x}$＜0，
所以q（x）＜q（0）=-$\frac{1}{2}$＜0，所以p（x）單調(diào)遞減，p（x）＜p（0）=（-1）e⁰=1$p（x）＞p（ln2）=（1-\frac{ln2}{2}）{e^{ln2}}$-ln2=2-ln2＞0-------------（11分）
所以b=0是符合條件的．-------------（12分）．

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的綜合應用，構(gòu)造法以及多次求導，函數(shù)的最值以及導函數(shù)的單調(diào)性以及最值，考查分類討論以及轉(zhuǎn)化思想的應用，難度大．