Question

【題目】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,對(duì)一切,點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上.

（1）證明：當(dāng)時(shí),;

（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

（3）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)的積,若不等式對(duì)一切成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析; （2） （3）

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)在函數(shù)圖像上,代入點(diǎn)坐標(biāo),化簡(jiǎn)后結(jié)合即可證明.

（2）根據(jù)（1）所得遞推公式,遞推作差后可得奇偶項(xiàng)分別為等差數(shù)列,根據(jù)和公差即可求得通項(xiàng)公式.

（3）根據(jù)為數(shù)列,代入的通項(xiàng)公式求得的表達(dá)式,構(gòu)造函數(shù);代入的通項(xiàng)公式求得函數(shù),根據(jù)恒成立求得即可.通過(guò)的單調(diào)性求得,代入解不等即可得實(shí)數(shù)a的取值范圍.

（1）證明: 因?yàn)閷?duì)一切,點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上

所以,化簡(jiǎn)可得

當(dāng)時(shí),

兩式相減可得

即（）

原式得證.

（2）由（1）可知

所以

兩式相減,可得

所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)公差為4的等差數(shù)列,偶數(shù)項(xiàng)公差為4的等差數(shù)列.

由（1）可知

則當(dāng)時(shí), 求得

則當(dāng)時(shí), ,即求得

所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí),

所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí),

綜上可知數(shù)列的通項(xiàng)公式為

（3）因?yàn)?/span>

所以

所以

又因?yàn)?/span>

所以對(duì)一切成立

即對(duì)一切成立

只需滿足即可

令

則

所以

所以

即為單調(diào)遞減數(shù)列

所以

所以即可,化簡(jiǎn)可得

解不等式可得,或

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為