Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，，，平面．

（1）證明：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）根據(jù)菱形對(duì)角線互相垂直及平面ABCD，由線面垂直的判定定理得到平面PBD；

（2）可直接作出線面角用幾何法求之，也可建立空間直角坐標(biāo)系用向量法求之．

（Ⅰ）底面ABCD是平行四邊形且，

是菱形，即，

又平面ABCD，得，

所以平面PBD．

（Ⅱ）方法一（幾何法）：

取BC的中點(diǎn)Q，

連結(jié)PQ，DQ，交AC于點(diǎn)G，

過(guò)點(diǎn)G作，連HC，

在平行四邊形ABCD中且

是正三角形，即點(diǎn)G為重心，

又平面ABCD，得，又，

即平面PDQ，所以面面PDQ，

由作法知，平面PBC，

所以就是直線AC與平面PBC所成的角，

設(shè)，則，再由相似求得

在，，

所以直線AC與平面PBC所成角的正弦值是．

方法二(坐標(biāo)法):

取PB的中點(diǎn)Q，以O為原點(diǎn)，分別以OA，OB，OQ為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，，，

，，，

設(shè)平面PBC法向量，

則，

取，

記直線AC與平面PBC所成角為，

得，

所以直線AC與平面PBC所成角的正弦值是．