Question

11．關(guān)于函數(shù)$f（x）=cos（2x-\frac{π}{3}）+cos（2x+\frac{π}{6}）$，則下列命題：
①y=f（x）的最大值為$\sqrt{2}$；
②y=f（x）在定義域上是偶函數(shù)；
③y=f（x）在區(qū)間$[\frac{π}{24}，\frac{13π}{24}]$上是減函數(shù)；
④將函數(shù)$y=\sqrt{2}cos2x$的圖象向右平移$\frac{π}{24}$個單位后，將與函數(shù)y=f（x）的圖象重合．
其中正確命題的序號是①③④．

Answer 1

分析 化簡函數(shù)f（x）為余弦型函數(shù)，求出f（x）的最大值與最小正周期，并判斷f（x）的單調(diào)性和圖象平移問題．

解答 解：函數(shù)f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$）
=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+cos（2x-$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{2}$）
=cos（2x-$\frac{π}{3}$）-sin（2x-$\frac{π}{3}$）
=$\sqrt{2}$cos[（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{4}$]
=$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{12}$），
對于①，y=f（x）的最大值為$\sqrt{2}$，命題正確；
對于②，f（-x）≠f（x），不是偶函數(shù)，命題錯誤；
對于③，x∈[$\frac{π}{24}$，$\frac{13π}{24}$]時，2x-$\frac{π}{12}$∈[0，π]，
cos（2x-$\frac{π}{12}$）是單調(diào)減函數(shù)，
∴y=f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{24}$，$\frac{13π}{24}$]上是減函數(shù)，命題正確；
對于④，將函數(shù)y=$\sqrt{2}$cos2x的圖象向右平移$\frac{π}{24}$個單位，
得y=$\sqrt{2}$cos2（x-$\frac{π}{24}$）=$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{12}$）的圖象，命題正確；
綜上，以上正確的命題是①③④．
故答案為：①③④．

點評 本題考查了余弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了三角函數(shù)化簡與圖象平移問題，是綜合性題目．