Question

11．已知函數(shù)f（x）=（x+1）•e^-x（e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=x•f（x）+t•f′（x）+e^-x，若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得g（x₁）＜f（x₂）成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為[g（x）]_min＜[f（x）]_max，通過討論t結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分布求出[g（x）]_min和[f（x）]_max的值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)的定義域?yàn)镽，f′（x）=-$\frac{x}{{e}^{x}}$，…（1分）
∴當(dāng)x＜0時，f′（x）＞0，當(dāng)x＞0時，f′（x）＜0．
∴f（x）增區(qū)間為（-∞，0），減區(qū)間為（0，+∞）．…（3分）
（Ⅱ）假設(shè)存在x₁，x₂∈[0，1]，使得g（x₁）＜f（x₂）成立，則[g（x）]_min＜[f（x）]_max． …（5分）
由（Ⅰ）可知：[f（x）]_max=f（0）=1，
∴只需[g（x）]_min＜1即可，…（6分）
∵g（x）=x•f（x）+t•f′（x）+e^-x=$\frac{{x}^{2}+（1-t）x+1}{{e}^{x}}$，
∴g′（x）=$\frac{-{[x}^{2}-（1+t）x+t]}{{e}^{x}}$=-$\frac{（x-t）•（x-1）}{{e}^{x}}$，…（7分）
①當(dāng)t≥1時，g′（x）≤0，g（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，
∴g（1）＜1，即$\frac{3-t}{e}$＜1，∴t＞3-e，又t≥1，∴此時t的范圍為[t，+∞）；…（8分）
②當(dāng)t≤0時，g′（x）＞0，g（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，
∴g（0）＜1，即1＜1不可能存在； …（9分）
③當(dāng)0＜t＜1時，在x∈[0，t]，g′（x）＜0，g（x）在x∈[0，t]上單調(diào)遞減，
在x∈[t，1]，g′（x）＞0，g（x）在（t，1]上單調(diào)遞增，∴g（t）＜1，即$\frac{t+1}{{e}^{t}}$＜1--（*）
由（Ⅰ）知，h（t）=$\frac{t+1}{{e}^{t}}$在（0，1）上單調(diào)遞減，∴t∈（0，1），h（t）=$\frac{t+1}{{e}^{t}}$＜h（0）=1，恒成立，
∴t∈（0，1）．…（11分）
綜上所述，存在t∈（0，+∞），使得命題成立．    …（12分）

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道綜合題．