Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差不為零，若S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列．
（1）求S₁，S₂，S₄的公比；
（2）若S₂=4，令bn=

1

anan+1

，求{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）由若S_n是公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且S₁，S₂，S₃成等比數(shù)列．根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，我們易求出基本量（即首項(xiàng)與公差）之間的關(guān)系．將基本量代入易得公比；
（2）先求數(shù)列的通項(xiàng)，再用裂項(xiàng)法求和即可．

解答：解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，由題意，得S₂²=S₁•S₄?
所以（2a₁+d）²=a₁（4a₁+6d）
因?yàn)閐≠0，所以d=2a₁
故S₁，S₂，S₄的公比為

S2

S1

=4；
（2）由（1）可得

S2

S1

=4，又由S₂=4，
則S₁=a₁=1，a₂=4-1=3，
則d=a₂-a₁=3-1=2，則a_n=2n-1，
∴bn=

1

anan+1

=

1

2

×(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

×（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

，
∴{b_n}的前n項(xiàng)和為

n

2n+1

．

點(diǎn)評(píng)：解答特殊數(shù)列（等差數(shù)列與等比數(shù)列）的問題時(shí)，根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于基本量的方程，解方程求出基本量，再根據(jù)定義確定數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，然后代入進(jìn)行運(yùn)算．屬中檔題．