Question

12．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2，x＞m\\{x^2}+4x+2，x≤m\end{array}\right.$的圖象與直線y=x恰有三個公共點，則實數(shù)m的取值范圍是[-1，2）．

Answer 1

分析 由題意可得只要滿足直線y=x和射線y=2（x＞m）有一個交點，而且直線y=x與函數(shù)f（x）=x²+4x+2的兩個交點即可，畫圖便知，直線y=x與函數(shù)f（x）=x²+4x+2的圖象的兩個交點為（-2，-2）（-1，-1），由此可得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：由題意可得射線y=x與函數(shù)f（x）=2（x＞m）有且只有一個交點．
而直線y=x與函數(shù)f（x）=x²+4x+2，至多兩個交點，
題目需要三個交點，則只要滿足直線y=x與函數(shù)f（x）=x²+4x+2的圖象有兩個交點即可，

畫圖便知，y=x與函數(shù)f（x）=x²+4x+2的圖象交點為A（-2，-2）、B（-1，-1），故有 m≥-1．
而當(dāng)m≥2時，直線y=x和射線y=2（x＞m）無交點，故實數(shù)m的取值范圍是[-1，2），
故答案為：[-1，2）

點評 本題考查的知識點分段函數(shù)，分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想，難度中檔．