Question

如圖，已知多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，?AC＝AD＝CD＝DE＝2a，AB＝a，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)．

(1)求證：BF⊥面CDE；

(2)求多面體ABCDE的體積；

(3)求平面BCE和平面ACD所成的銳二面角的大�。�

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：∵AB⊥平面ACD，∴AB⊥AC． 　　由AB＝a，AC＝2a，得BC＝．∴BE＝． 　　又F是CE的中點(diǎn)，∴BF⊥CE． 　　同理，在直角梯形ABED中，AB⊥AD，DE⊥AD，且AB＝a，AD＝DE＝2a， 　　∴BE＝． 　　又F是CE的中點(diǎn)，∴BF⊥CE． 　　∵BF在面ACD上的射影是等邊△ADC的邊CD上的高， 　　∴BF⊥CD． 　　∴BF⊥平面CDE． 　　解：(2)連結(jié)BD，把原幾何體分成三棱錐B－ACD與三棱錐B－CDE． 　　VB－ACD＝·a·(2a)2＝． 　　∵CE＝，CF＝， 　　而BC＝，∴BF＝． 　　∴VB－CDE＝． 　　故所求多面體ABCDE的體積為． 　　(3)設(shè)面BCE與面ACD所成的角為． 　　∵△BCE在面ACD上的射影為△ACD， 　　∴cos＝． 　　∴＝．

提示：

(1)如圖，取CD的中點(diǎn)G，DE的中點(diǎn)H，連結(jié)FG、FH．容易證明它們也是相應(yīng)邊的垂線．再連結(jié)BH．欲證線面垂直，先證線線垂直．如果BF⊥面CDE證明成立的話，則必然有BF⊥CE，考慮到F為CE的中點(diǎn)，我們的目標(biāo)就是要證明△BCE是等腰三角形．另外由于BF在平面ACD上的射影AG是△ADC的邊CD上的高，所以BF⊥CD．這樣BF就垂直于平面ACD上的兩條相交直線，從而BF⊥面CDE． 　　(2)求多面體的體積可以采取將圖形通過切割轉(zhuǎn)化為幾個簡單的幾何體分別求體積后求和的方法． 　　(3)注意到△BCE在平面ACD上的射影就是△ADC，有結(jié)論：兩者的面積之比就是所成二面角的余弦值，利用這個結(jié)論列式求解．