Question

【題目】（本題滿(mǎn)分12分）已知橢圓,直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，，線(xiàn)段的中點(diǎn)為．

（Ⅰ）證明：直線(xiàn)的斜率與的斜率的乘積為定值；

（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)，延長(zhǎng)線(xiàn)段與交于點(diǎn)，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)的斜率，若不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）能，或．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)直線(xiàn) ，直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理求根與系數(shù)的關(guān)系，并表示直線(xiàn)的斜率，再表示；

（2）第一步由 (Ⅰ)得的方程為．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，直線(xiàn)與橢圓方程聯(lián)立求點(diǎn)的坐標(biāo)，第二步再整理點(diǎn)的坐標(biāo)，如果能構(gòu)成平行四邊形，只需，如果有值，并且滿(mǎn)足，的條件就說(shuō)明存在，否則不存在.

試題解析：解：(1)設(shè)直線(xiàn) ，，，．

∴由得，

∴，．

∴直線(xiàn)的斜率，即．

即直線(xiàn)的斜率與的斜率的乘積為定值．

（2）四邊形能為平行四邊形．

∵直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，∴不過(guò)原點(diǎn)且與有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是，

由 (Ⅰ)得的方程為．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

∴由得，即

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線(xiàn)的方程得，因此．

四邊形為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線(xiàn)段與線(xiàn)段互相平分，即

∴ ．解得，．

∵，，，

∴當(dāng)的斜率為或時(shí)，四邊形為平行四邊形．