Question

（本小題滿分14分）已知，函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，

（�。┤�，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（ⅱ）若關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，求的取值范圍；

（Ⅱ）已知曲線在其圖象上的兩點(diǎn)，（）處的切線分別為．若直線與平行，試探究點(diǎn)與點(diǎn)的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

 

Answer 1

【答案】

（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，的取值范圍是；（2）見(jiàn)解析.

【解析】第一問(wèn)中因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821092776311035/SYS201207182110130287197360_DA.files/image004.png">，所以，得到解析式，然后分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來(lái)判定即可

第二問(wèn)中，關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，等價(jià)轉(zhuǎn)化為

不等式在區(qū)間上有解，然后利用分離參數(shù)m的思想得到取值范圍

第三問(wèn)中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821092776311035/SYS201207182110130287197360_DA.files/image010.png">的對(duì)稱中心為，

而可以由經(jīng)平移得到，

所以的對(duì)稱中心為,故合情猜測(cè)，若直線與平行，則點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．然后加以證明即可。

解：（Ⅰ）（i）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821092776311035/SYS201207182110130287197360_DA.files/image004.png">，所以，        ……………………1分

則， 而恒成立，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．      ……………………4分

（ii）不等式在區(qū)間上有解，

即 不等式在區(qū)間上有解，

即   不等式在區(qū)間上有解，

等價(jià)于不小于在區(qū)間上的最小值．         ……………………6分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821092776311035/SYS201207182110130287197360_DA.files/image025.png">時(shí)，，

所以的取值范圍是．                  ……………………9分

（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821092776311035/SYS201207182110130287197360_DA.files/image010.png">的對(duì)稱中心為，

而可以由經(jīng)平移得到，

所以的對(duì)稱中心為,故合情猜測(cè)，若直線與平行，則點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．    ……………………10分

對(duì)猜想證明如下：

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821092776311035/SYS201207182110130287197360_DA.files/image027.png">，

所以，

所以，的斜率分別為，．

又直線與平行，所以，即，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821092776311035/SYS201207182110130287197360_DA.files/image033.png">，

所以，，   ……………………12分

從而，

所以．

又由上 ，

所以點(diǎn)，（）關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．

故當(dāng)直線與平行時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．        ……………………14分