Question

15．如圖，正方形ADMN與矩形ABCD所在的平面相互垂直，AB=2AD=6，點(diǎn)E為線段AB上一點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，求證：BM∥平面NDE；
（2）若直線EM與平面所成角的大小為$\frac{π}{6}$，求V_E-ADMN：V_E-CDM．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AM，設(shè)AM∩ND=F，連結(jié)EF，推導(dǎo)出EF∥BM，由此能證明BM∥平面NDE．
（2）推導(dǎo)出AE=3$\sqrt{2}$，V_E-ADMN：V_E-CDM=$\frac{1}{3}×AE×{S}_{正方形ADMN}$：$\frac{1}{3}×AD×{S}_{△MDC}$，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）連結(jié)AM，設(shè)AM∩ND=F，連結(jié)EF，
∵四邊形ADMN為正方形，∴F是AM的中點(diǎn)，
又∵E是AB中點(diǎn)，∴EF∥BM，
∵EF?平面NDE，BM?平面NDE，
∴BM∥平面NDE．
解：（2）∵正方形ADMN與矩形ABCD所在的平面相互垂直，
AB=2AD=6，點(diǎn)E為線段AB上一點(diǎn)．
直線EM與平面所成角的大小為$\frac{π}{6}$，
∴$∠DEM=\frac{π}{6}$，∴ME=6，DE=3$\sqrt{3}$，
AE=$\sqrt{27-9}$=3$\sqrt{2}$，
∴V_E-ADMN：V_E-CDM=$\frac{1}{3}×AE×{S}_{正方形ADMN}$：$\frac{1}{3}×AD×{S}_{△MDC}$
=$\frac{1}{3}×3\sqrt{2}×{3}^{2}$：$\frac{1}{3}×3×\frac{1}{2}×3×6$
=$\sqrt{2}：1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查兩個(gè)幾何體的比值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．